Thursday, July 21, 2011

Lecture notes on finite fields (III)

Applications of finite fields (3/3) - Dickson polynomials and discrete logarithms. Older lecture notes from a notebook which I don't want to lose (unfortunately it is in danger of falling apart...)

Monday, July 18, 2011

Saturday, July 16, 2011

Florin & Mihai Caragiu: "Matematică şi Poezie – Confluenţe"


Publicat în revista „Sinapsa”, Nr. 8/2011, pp. 65-75 (foto: Diana Popescu)

În gândirea grecească, pe lângă ordine şi cosmos, logosul a fost o altă noţiune, cu dublu statut, obiectiv şi subiectiv. Logosul există atât în om, cât şi în lucruri. Cosmosul şi ordinea lui se opun unui aşa-numit haos iniţial şi sunt inseparabile de ideea de inteligibilitate, de logos. Pitagora, cel dintâi, a numit cuprinderea tuturor lucrurilor kosmos, din pricina rânduielii ce domnea în cuprinsul lor. Cosmosul era universul ordonat, altfel spus, normat. O altă proprietate fundamentală a kosmosului pitagoreic, pe lângă caracterul lui ordonat, este aceea a caracterului finit. Grecii, s-a spus, se temeau de infinit. Ei asociau valoarea binelui cu finitul şi, implicit, cu cognoscibilul. Pentru ei, infinitul era ceva de ordin iraţional, dăunător eticii. De altfel, esenţa învăţăturii pitagoreice e conceptul de număr în explicarea lumii. (Desigur, pe acea vreme, conceptul de număr era foarte primitiv, legat de ilustrări practice, cu pietricele sau din puncte.) Pitagora e ultimul punct nodal al sistemului încă nedivizat al imaginii lumii mitice, în centrul învăţăturilor sale aflându-se, într-un tot unitar, muzica, matematica, astronomia şi ritul. Există o mistică a numerelor pitagoreice care şi-a atins apogeul în şcoala neopitagoreicilor, în aşa-numitele teologii aritmetice ş. a. Se stabileau corelaţii între numere şi alte concepte matematice, numere şi muzică, numere şi morală, numere şi corpul uman, numere şi elementele universului.
E interesant de urmărit întâlnirea dintre poezie şi matematică în acest punct de convergenţă generală care este mitul, unde funcţiile spiritului nu sunt încă diferenţiate în discipline autonome, şi unde gnoseologicul şi ontologicul, cunoaşterea şi existenţa se suprapun. De altfel, suprapunerea dintre existenţă şi cunoaştere este o temă fundamentală a gândirii antice, şi care, de altfel, a cunoscut revalorificări interesante în modernitate. Parmenide afirma, de exemplu, că „acelaşi lucru este a cunoaşte şi a fi”. Cu alte cuvinte, există o identitate de natură între intelect şi restul existenţei, care face posibilă cunoaşterea. Ajungem, astfel, la ideea importantă de reflexivitate a gândirii, la ceea ce s-a numit, în legătură cu gândirea greacă şi nu numai, critica gândirii, cunoaşterea cunoaşterii.
În dialogul „Timaios”, Platon se referea la cele cinci poliedre regulate, spunând că sunt figuri cosmice la intersecţia dintre raţional şi iraţional, şi corespund treptelor universului său. Teoria lui Platon corespunde în mare măsură principiului economiei, în sensul folosirii unui număr minim de elemente pentru redarea diversităţii fenomenelor naturii, ca şi dezideratelor raţiunii, regularităţii şi ordinii de care e pătrunsă gândirea greacă. Existenţa ascultă de acelaşi logos ca şi intelectul [1].